Faccio una domanda stupida, hai controllato il tasto di sicurezza vicino all'acceleratore? Capita di non acorgersi che sia in off e ricercare chi sa quale astruso problema.
Se la batteria è carica, girando la chiave si accendono le luci e premendo il tasto di avviamento non vanno a terra, è molto probabilmente un problema elettrico, non arriva corrente al motorino, probabilmente il relè come hanno indicato o qualche contatto ossidato, ma io darei anche una controllata a tutti i fusibili.
P.S. se hai un tester, forse i fusibili ti conviene controllarli col tester o comunqued verificali molto attentamente, alcune volte si lesionano ed a vederli sembrano integri, ma non funzionano, mi è capitato una volta con la Vara, non ricordo cosa andava, controllati e ricontrollati due o tre volte i fusibili, a vederli sembravano tutti a posto, portata la moto dall'elettrauto vicino casa li ha voluti ricontrollare, con un tester fatto in casa, due fili ed una lampadina, ha visto che uno era saltato, ma a vederlo sembrava perfetto.